פיטורין עקב אי התאמה לצרכי המעביד

שלום,
ילדתי ביולי 2010, לאחר שנערך סיכום עם המעביד(אני עובדת מה1/1/2008 אצל אותו מעביד) כי אשוב לעבוד באפריל 2011 (לא סיכמנו על היקף המשרה)
חזרתי לעבודה בחודש מרץ עקב מחסור בכ"א(למשרה חלקית עפ"י יכולתי)
המעביד קבע כי יוכל לקבל אותי חזרה למשרה מלאה (כפי שסוכם) מחודש אפריל אך ורק להיקף המשרה בה עבדתי לפני שילדתי
תגובתי היתה כי אשמח לחזור לעבודה למשרה מלאה בהיקף שעות שונה מבעבר (ללא שעות נוספות)המעביד לא הסכים ופיטר אותי, ביקש ממני להישאר עד אמצע מאי ונעניתי בחיוב
המעביד הודיע כי ייתן לי את פיצויי הפיטורין

לשאלתי- האם המעביד צריך להגיש לי מכתב התפטרות ?(נתבקשתי להגיש מכתב בו אני מתפטרת עקב טיפול בילד) ??
והאם אני זכאית לקבל אבטלה
יש לציין כי לאחר חצי שנה מהיום בו ילדתי המעביד המשיך להנפיק לי תלוש + הפרשת כספים לביטוח לאומי וכו'..

לתשובתך אודה